如果说此次新冠肺炎疫情能给人们带来什么教训的话，对金融界来说，教训之一必定是让人们更加重视尾部风险（Tail Risk）。作为一名数量金融的研究者，北京大学汇丰商学院副教授彭献华长期关注尾部风险的度量和监管，在他看来，“尾部的小概率事件可能比人们预期的更经常发生，风险管理一定要重视尾部风险。”

数学与金融工程

　　“预测是一件非常困难的事，尤其是预测未来。” 物理学家尼尔斯·玻尔曾这样说。预测尾部风险度量也是如此。

　　彭献华及其合作者发表的一篇论文《关于经济尾部风险的度量》（On the Measurement of Economic Tail Risk）提出了度量尾部风险的新指标。和近年来他在国际知名期刊发表的几乎所有论文一样，这篇论文包括大量的数学推导和证明。

　　彭献华自小就发现对数学的兴趣，从中学开始参加全国数学竞赛并多次获奖；1996年，他进入北京大学数学学院学习，抽象代数、实变函数、复变函数、拓扑学、泛函分析、概率论……从本科读到研究生，在外人看起来犹如天书的公式符号海洋中，他一扎进去就是7年。

　　研究生毕业后，彭献华进入哥伦比亚大学深造，并于2009年获得运筹学博士学位。运筹学和管理科学有共同的学术组织INFORMS（Institute for Operations Research and Management Science）。“运筹学跟经济学也有紧密的联系，可以用于解决经济学中的重要问题。”彭献华举例说，“运筹学的最高学术研究奖‘冯·诺伊曼理论奖’从1975年开始颁奖，这个奖的8位获得者后来被授予诺贝尔经济学奖，包括约翰·纳什（John Nash）。”

　　被誉为“博弈论之父”的冯·诺伊曼是彭献华崇拜的大数学家。“在黑板上写几个公式就改变了世界”，其传记作者诺曼·麦克雷高度评价冯·诺伊曼在数学应用诸多领域的卓越贡献。对彭献华来说，长久以来占据他的头脑的思考也是如何用数学工具解决现实问题，尤其是在金融领域的应用。

　　彭献华在哥伦比亚大学读博时，正值金融工程磅礴发展，随之而来产生了很多“有趣的问题”，加之哥伦比亚大学地处国际金融中心纽约，金融工程研究水平在全美数一数二。综合考虑后，彭献华将金融工程选为自己研究的侧重方向。

　　潜心专注金融工程领域多年，他在国际知名期刊上发表多篇学术论文，涉及资产定价、衍生品定价、金融监管和风险度量等热点问题。其中，对金融风险的度量更是学术界、金融机构和监管机构普遍关注的问题。上世纪90年代以来，度量市场风险的主要指标是“风险价值（Value-at-Risk，VaR）”。然而，尽管VaR概念简单、计算方便，但VaR值只告诉人们在给定的概率下的最大损失，并未指出当实际损失超过了VaR值这个小概率尾部事件发生时，实际损失的平均值是多大。

　　什么样的风险度量是好的度量？学界、业界和政策机构追问不止。

　　在思考这个问题时，彭献华深入研究了风险度量的一个重要性质：“可诱发性（Elicitability）”。“可诱发性”是统计和计量经济学中的概念。2012年前后，可诱发性的定义逐渐清晰，并被引入风险度量领域。在实际应用中，银行需要使用统计模型来预测风险度量，因此银行和监管机构都需要评价用于预测风险度量的统计模型是否足够准确。如果一个风险度量具有可诱发性，那么就存在一个评分函数，可用于评价一组备选模型中哪一个模型能够更加准确地预测该风险度量；如果一个风险度量不具有可诱发性，就无法评价备选模型中哪一个能更加准确地预测该风险度量。彭献华和其合作者的论文，较早研究了哪些风险度量具有可诱发性，并首先提出“中位数损失（Median Shortfall，MS）”这一风险度量指标。

　　2013年，为弥补VaR的缺点，《巴塞尔协议III》征求意见稿拟用“期望损失（Expected Shortfall，ES）”替代VaR。彭献华的研究发现并证明，在基于Choquet期望效用理论的一大类的风险度量中，只有VaR和MS具有可诱发性。而之前的学者发现ES不具有可诱发性。

　　类似ES，MS也可以度量当实际损失超过了VaR值这个小概率事件发生时的实际损失的平均值，因此MS可以比VaR更好地度量尾部风险。此外，MS具有稳健性，而ES不具有稳健性。

　　因此，彭献华和论文合作者建议在《巴塞尔协议III》中使用MS而不是ES来计算银行的监管资本，并将此建议作为对《巴塞尔协议III》征求意见稿的回复，发表在国际清算银行的官网上。尽管后来《巴塞尔协议III》还是采用了ES指标，但彭献华和合作者提出的MS指标也引起了学界的关注。

在课堂上演绎数学之美

　　博士毕业后，彭献华先在加拿大约克大学和Fields Institute做了一年Fields-Ontario博士后研究。2010年，他进入香港科技大学数学系，任助理教授；2018年加入北京大学汇丰商学院，任副教授。不管是在金融风险管理、寿险精算、资产配置，还是在博士生的数学分析和优化，以及泛函分析课上，彭献华都会把自己当年的学习经验应用到每堂课的教学中。讲解一个定理或方法时，他会总结、点评关键点和难点，以及解释数学的直觉，让学生明白拿到一个数学问题如何入手。更进一步，彭献华还会阐释某个知识点背后更深层次的想法，“一些数学问题背后的思想有相通之处”。

　　具体来说，所谓“更深层次的想法”，就是在学习新的数学知识时除了要弄清楚知识本身，还要多思考哪些是比较自然、容易想到的，哪些是没那么明显、不容易想到的，后者才是精华，在学习过程中需要“多琢磨为什么别人会有这么好的想法，才能培养起数学的直觉”。彭献华认为，这个总结的过程也是“不断向自己提问的过程，只有问比较深入的问题，自己做研究时才能找到题目所在，进而去解决这些问题”。

　　“彭老师会把intuition讲得很清楚，然后用数学语言写出来。每一步都有理有据，整个证明走下来，除了清爽的字迹带来的赏心悦目，还有严密的逻辑美感带来的冲击。”2018级在读博士研究生何贺敏对彭老师的数学课的印象深刻，“彭老师课上手写证明的教学风格让我敬佩不已。在最优化问题那一章里，几乎每个定理都需要一节课来证明。这么长的证明在彭老师那里，变成了一种享受。”

　　北大汇丰博士项目课程是由2011年诺贝尔经济学奖获得者托马斯·萨金特教授设计和主持。萨金特教授在课程设计中特别重视数学能力的训练，设置了三门博士数学必修课，并详细规划数学课的教材和讲授章节。彭献华在教学上完全实践了萨金特教授的设计思路。在备课过程中，他把选定的上千页的教材逐页认真读完，选出其中的精华，浓缩后呈现于课堂。2018级博士研究生张悦琪曾担任彭老师的助教，她不止一次感受到老师备课的用心：“彭老师的PPT展示了课堂上要学的重要定理，逻辑非常清晰，课堂上现场推导过程干净易懂，如果上课没来得及看教材，只看PPT就可以了。”

　　不仅如此，彭献华的严谨还体现在教学的字里行间。在博士班数学课上，同学们常常惊奇地发现彭老师会纠正书中的数学错误和文字错误，重新阐述教材中一些不严谨的定理及其证明，比如为了把隐函数定理和最大值定理讲得更清楚，他会讲述比教材上的更加严谨的版本。他也会告诉学生，要把某一个证明里的“max”改成“sup”，因为要考虑最大值不存在的情况。

　　2019年教师节，加入北大汇丰不到两年，彭献华获得了北大深圳研究生院“优秀教师”称号。

数学有助于求解复杂现实问题

　　冯·诺伊曼曾就数学的未来发展发表过精辟的观点：“当一门数学学科远离它的经验来源，或者甚至它只是由来自‘实际’的思想间接激发产生的第二代和第三代，这门学科就危机四伏了。它会越来越走向纯美学化，越来越纯粹地为艺术而艺术......无论如何，我觉得唯一的补救办法就是恢复到青春回到起源，重新注入多少是直接经验的思想。”

　　一定程度上，彭献华认同这种看法，但他补充说，不是所有的纯数学都是“纯美学化”，只是有一些数学问题离现实稍远一点，可能暂时看不到其应用价值，但未来可能会有。比如看起来“不食人间烟火”的数论实际上可以应用在密码学领域。另外，在解决一些看似纯理论问题的过程中可能会发展出一些新的方法，这些新方法或有助于解决现实问题。

　　彭献华也不因为热爱而“溺爱”数学，他不会过分强调数学的重要性，而是具体问题具体分析。学术研究上，有一种“数学无用论”，认为研究中使用数学模型是化简单为复杂，“为使用数学而使用数学”。彭献华则认为，如果问题本身需要给出定量的答案，使用数学模型和工具是有帮助的。但是有一些问题只需要定性的而不是定量的答案，则可能不需要建立数学模型。

　　针对数学无用论，彭献华认为，如果想要知道数学在金融领域是否有用，了解一下文艺复兴科技公司就可以知道答案。文艺复兴科技公司是一家纯粹使用量化模型进行投资的对冲基金，其大奖章基金在1988-2018期间平均年化收益率约为39%，而巴菲特在1965-2018期间的平均年化收益率约为21%。很多时候，由于现实太复杂，数学工具不够用，不得已用了简单的模型，这是“数学用得太少了，而不是太多了”。彭献华补充说，实际问题可能需要复杂的数学模型去描述，但是“复杂的模型可能数学家也求解不了，所以不得不简化，导致简化的模型跟现实相差较远，因此得到的结果在现实中的应用效果不好，造成‘数学无用’的误解”。

　　由于现有的模型可能还不能足够精确地描述现实，彭献华认为，未来数量金融领域还有一系列问题需要解决，还有很多研究方向等待挖掘，等待用更贴近现实的模型来描述和求解。

　　除风险度量之外，彭献华的主要研究成果还包括引入空间相关性的资产定价理论，以及被称为“Peng-Kou”模型的信用衍生品定价模型，该模型被投资银行用于信用违约掉期及其期权等信用产品的定价和风险管理。

　　“做学术最大的乐趣就在于自由，可以关注和研究自己感兴趣的问题，可以不断学习前沿的知识。”彭献华每天都花大量时间读论文，做推导，写C++和Python代码。他继续在随机动态规划算法、强化学习算法、算法交易、市场微观结构、金融衍生品，以及金融监管等领域倾注时间、心血和热情，思索如何运用数学的语言和工具，找到解决这些“有趣的”金融问题的答案。

彭献华在做学术报告

（撰文：曹明明；编辑：木南；题图：陈洁银）